La factorielle

Mais c’est quoi la factorielle? En fait, c’est le produit de tous les nombre naturels inférieurs ou égaux a un nombre. D’habitude, on sait qu’on prend la factorielle d’un nombre quand il y a un point d’exclamation. Par exemple, voici comment on écrit la factorielle d’un nombre naturel $n$

$\displaystyle n!=n (n-1) (n-2) ...$

Et la multiplication continue jusqu’à 1. Bon, tout ça c’est bien mais on est limité aux nombre naturels. Par exemple, c’est quoi $\displaystyle (1/2)!$ ? Il doit bien y avoir une façon de calculer ce genre de factorielle non? Eh oui, ça existe, et ça s’appelle la fonction Gamma.

$\displaystyle \Gamma (n)=\int^{\infty}_{0} x^{n-1}e^{-x}\,dx$

$\displaystyle \Gamma (n+1)=n!$

$\displaystyle n!=\int^{\infty}_{0} x^{n}e^{-x}\,dx$

Oui, je sais, c’est bizarre. Pourquoi est-ce-qu’une intégrale nous donne la factorielle? Pour essayer de comprendre, on va calculer quelques factorielles avec cette formule décidément élégante. Commençons par 5!:

$\displaystyle 5!=\int^{\infty}_{0} x^{5}e^{-x}\,dx$

Si on évalue cette intégrale en utilisant la méthode classique d’intégration par partie, ça va nous prendre énormément de temps. Il faudrait intégrer par partie 5 fois! Oui, 5! Moi, je préfère largement regarder le cas plus général, puis en plus, c’est plus intéressant. Alors on s’intéresse a prouver le cas général, pour ensuite l’appliquer. Commençons par ça:

$\displaystyle \int^{\infty}_0 e^{-x}\,dx=1$

Il est facile de prouver que c’est vrai, alors je me passerai de la démonstration. On sait aussi que

$\displaystyle \int^{\infty}_0 e^{-bx}\,dx=\frac{1}{b}$

$\displaystyle \int^{\infty}_0 e^{-bx}\,dx=\frac{e^{-bx}}{-b}\Big|_0^{\infty}=\frac{1}{b}$

Ça devient vraiment intéressant quand on décide de dériver chaque coté de l’équation par rapport a $b$ :

$\displaystyle \frac{d}{db}\int^{\infty}_0 e^{-bx}\,dx=\frac{d}{db}\left(\frac{1}{b}\right)$

En employant le théorème de Leibniz:

$\displaystyle \int^{\infty}_0\frac{\partial}{\partial b}e^{-bx}\,dx=\frac{-1}{b^2}$

$\displaystyle \int^{\infty}_0 -xe^{-bx}\,dx=\frac{-1}{b^2}$

On va répéter cette opération plusieurs fois, eliminant à chaque fois le signe négatif si il existe:

$\displaystyle \int^{\infty}_0 x^2e^{-bx}\,dx=\frac{2}{b^3}$

$\displaystyle \int^{\infty}_0 x^3e^{-bx}\,dx=\frac{6}{b^4}$

$\displaystyle \int^{\infty}_0 x^4e^{-bx}\,dx=\frac{24}{b^5}$

$\displaystyle \int^{\infty}_0 x^5e^{-bx}\,dx=\frac{120}{b^6}$

Maintenant, le motif devient assez claire et il est possible de généraliser:

$\displaystyle \int^{\infty}_0 x^ne^{-bx}\,dx=\frac{n!}{b^{n+1}}$

On obtient notre définition de la factorielle en laissant $b$ être égal a 1:

$\displaystyle \int^{\infty}_0 x^ne^{-x}\,dx=n!$

Maintenant, on peut calculer des factorielles intéressantes, car on n’est plus limité à l’ensemble $\displaystyle \mathbb{N}$ . Par exemple:

$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)!=\int^{\infty}_{0} x^{\frac{1}{2}}e^{-x}\,dx$

$\displaystyle x=u^2$

$\displaystyle dx=2u\,du$

$\displaystyle \frac{1}{2}!=2\int^{\infty}_{0} u^2 e^{-u^2}\,du$

Bon on va utiliser la technique d’intégration par partie:

$\displaystyle 2\int^{\infty}_{0} u^2e^{-u^2}\,du=2 u \cdot \left(-\frac{1}{2} e^{-u^2}\right) \Biggr|_0^{\infty} - 2 \int_0^{\infty} -\frac{1}{2}e^{-u^2}\,du = \int_0^{\infty} e^{-u^2} \,du$

L’intégrale de droite n’est pas élémentaire, mais elle a une valeur bien connue: $\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

$\displaystyle \int^{\infty}_{0} e^{-u^2}\,du=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Le moins qu’on puisse dire c’est que c’est contre-intuitif!

Cette formule nous permet aussi de démontrer que $0!=1$ :

$\displaystyle 0!=\int_0^{\infty} x^0e^{-x}\,dx$

$\displaystyle 0!=\int_0^{\infty}e^{-x}\,dx$

$\displaystyle 0!=1$

One thought on “La factorielle”

asdasd says:

on August 17, 2018 at 9:06 am

Il me semble que votre dérivation du fait que $(1/2)! = \sqrt{\pi}/2$ n’est pas correcte : lors du changement de variable $x=u^2$ , l’intégrale $\int_{0}^{\infty}x^{1/2}e^{-x}\,dx=(1/2)!$ devient $\int_{0}^{\infty}(ue^{-u^2})(2u\,du)=2\int_{0}^{\infty}u^2 e^{-u^2}\,du$ (car $dx=2u\,du$ ), et non $\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}ue^{-u^2}\,du$ comme vous écrivez.

En effet, cette dernière expression vaut $1/4$ ; l’intégrale peut être résolue par un changement de variable $v=u^2$ ou en remarquant que l’intégrand $ue^{-u^2}$ est primitive de $-\frac{1}{2}e^{-u^2}$ . Quant à la première, on peut intégrer par parties : $\int(u)(ue^{-u^2}\,du)=(u)(-\frac{1}{2}e^{-u^2}) - \int(-\frac{1}{2}e^{-u^2})(1\,du)$ , ce qui nous mène au résultat correcte $\sqrt{\pi}/2$ .

(j’espère que le LaTeX compile!..)

Pardonnez-moi, je n’ai pas pu résister l’opportunité de practiquer le français (x

Vous avez un cool blog là.

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